Solución a las cuestiones

Práctica 5: Resonancia de espín

Calcula la diferencia de energías entre niveles de un electrón que es sometido a un campo magnético de \(B = 2\)mT.

Recordemos que el efecto Zeeman predice que, en ausencia de momento angular orbital, la energía de un electrón con tercera componente de espín \(s_z\) en presencia de un campo magnético externo \(B\) se modifica como sigue: \(\Delta E_{s_z} = \mu_B g_s s_z B\), con \(g_s = 2\) y \(\mu_B = 5.79 \times 10^{- 11} \rm{MeV} / \text{T}\), con lo que \(\Delta E_{\pm} = \pm \mu_B B\). De este modo, tiendo en cuenta que \(1 \rm{MeV} = 10^{12} \mu \rm{eV}\), tenemos que \begin{equation} E_+ - E_- = 2 | \Delta E | = 2 \mu_B B = 2 \times 5.79 \times 10^{- 11} \times 2 \times 10^{- 3} \rm{MeV} = 0.23 \mu \rm{eV} . \end{equation}

¿A qué frecuencia corresponde? ¿A qué región del espectro electromagnético pertenece? Compárala con los valores suministrados por el generador de frecuencias empleado en esta práctica.

Usando que \(E = h \nu\) entonces tiendo en cuenta que \(h = 2 \pi h\), \(\hbar c = 197.3269804 \rm{MeV} \times \rm{fm}\), junto con \(1 m = 10^{15} {\rm fm}\), \(c = 2.99792458 \times 10^8\)m/s y \(1 {\rm MHz} = 10^6 {\rm Hz}\) tenemos \begin{equation}\nu = \frac{2 c | \Delta E |}{h c} = \frac{4 \pi c | \Delta E |}{\hbar c} = \frac{2.99792458 \times 10^8 \times 10^{15} \times 2.3 \times 10^{- 13}}{2 \pi \times 197.3269804} {\rm Hz} = 55.6 {\rm MHz} .\end{equation} Para saber la región del espectro es mejor calcular la longitud de onda \begin{equation}\lambda = \frac{c}{\nu} = \frac{2.99792458 \times 10^8}{55.6 \times 10^6} m = 5.39195 m,\end{equation} que son ondas de radio. En la práctica tenemos frecuencias entre \(35\) y \(80\) MHz, del mismo orden.

Sabiendo que el momento magnético del protón vale \(\mu_p = g_p \mu_N\) con \(\mu_N\) el magnetón nuclear de valor \(\mu_N = 5.051 \times 10^{- 27}\)J/T y \(g_p = 2.798\) el factor giromagnético anómalo del protón, calcula ahora la diferencia de energía generada entre estados con distinta proyección de espín cuando se aplica un campo de \(B = 2\)mT.

Sabiendo que \(\mu_N = e \hbar / (2 m_N) = \mu_B m_e / \mu_N\) obtenemos el valor numérico \(\mu_N = 3.15425 \times 10^{- 14}\)MeV/T, con lo que \(\mu_p = 8.83 \times 10^{- 14}\)MeV/T. Transformemos el valor del enunciado a MeV, y usando que \(h = 6.62607004 \times 10^{^{- 34}} J \cdot s\) más relaciones de los ejercicios anteriores tenemos que \begin{equation}1 J = \frac{2 \pi \times 197.3269804}{6.64 \times 10^{- 34} \times 2.99792458 \times 10^8 \times 10^{15}} {\rm MeV} = 6.2415 \times 10^{12} {\rm MeV},\end{equation} con lo que \begin{equation}\mu_N = 5.05 \times 10^{- 27} J / \text{T} = 3.15 \times 10^{- 14} {\rm MeV} / \text{T},\end{equation} en excelente acuerdo con el cálculo directo. La manera más sencilla de obtener el resultado es reciclando \begin{equation}\Delta E_p = \Delta E_e \frac{g_p}{g_e} \frac{m_e}{m_N} = 0.23 \times \frac{2.798}{2} \times \frac{0.511}{938} \mu {\rm eV} = 1.75 \times 10^{- 4} \mu {\rm eV} .\end{equation}

A la vista de los resultados, ¿en qué hay que invertir más energía: en cambiar la proyección de espín de un electrón o la de un protón?

Para un electrón, en concreto la energía es un factor \(m_N g_e / (m_e g_p) = 1312\) mayor que para el protón.

La dependencia entre la frecuencia del fotón incidente y el campo magnético que crea desdoblamiento Zeeman viene dada por la ecuación \(h \nu = g_s \mu_B B\), en donde el campo magnético se calcula a partir de la corriente \(I\) a través de la ecuación \(B = \mu_0 \hspace{0.17em} \left( \dfrac{4}{5} \right)^{3 / 2} \dfrac{n}{r} I\). Si hacemos un ajuste lineal de \(I\) (en amperios A) frente a \(\nu\) (en megahercios MHz), por qué factor numérico tendremos que multiplicar la pendiente para obtener \(g_s\)? Cómo se obtiene \(I_1\) (en amperios A) a partir de la pendiente y la ordenada en el origen? Sabrías calcular su incertidumbre a partir de los resultados del ajuste lineal?

La pendiente de la recta será \(m = \mu_B \mu_0 \hspace{0.17em} \left( \dfrac{4}{5} \right)^{3 / 2} \dfrac{n}{h r} g_s\), y tendrá unidades de Hz/A. Usamos que \(n = 320\), \(r = 6.8\)cm, \(\mu_0 = 4 \pi \times 10^{- 7}N/A^2\). De la relación entre J y MeV obtenida anteriormente tenemos \(\mu_B = 9.2766 \times 10^{- 24}\)J/T. Finalmente usamos que \begin{equation}T = \frac{{\rm Kg}}{A s^2} \times \frac{m}{m} = \frac{N}{A m},\end{equation} con lo que \begin{equation}\frac{g_s}{m} = \frac{h r}{n \mu_B \mu_0} \left( \dfrac{5}{4} \right)^{3 / 2} = \frac{6.62607004 \times 10^{- 34} \times 6.8 \times 10^{- 2}}{320 \times 4 \pi \times 10^{- 7} \times 9.2766 \times 10^{- 24} } \left( \dfrac{5}{4} \right)^{3 / 2} A \cdot s = 0.01688 \frac{A}{{\rm MHz}} .\end{equation} Si tenemos que la pendiente es \(m \approx 120\)MHz/A entonces \(g_s \approx 2\). Lleguemos al mismo resultado por otra vía \begin{equation} \frac{g_s}{m} = \frac{2 \pi \hbar c r}{n c \mu_B \mu_0} \left( \dfrac{5}{4} \right)^{3 / 2} = \frac{2 \times 197.3269804 \times 6.8 \times 10^{- 2} }{320 \times 4 \times 10^{- 7} \times 5.79 \times 10^{- 11} \times 2.99792458 \times 10^8 \times 10^{15}} \left( \dfrac{5}{4} \right)^{3 / 2} \! A \cdot s , \end{equation}\end{equation} en perfecto acuerdo. Para obtener el campo magnético escribimos la relación de resonancia en el máximo o mínimo en términos de la pendiente \(\nu \hspace{0.17em} = m (I_0 + I_1)\) de manera que la ordenada en el origen es \(\nu_0 = m I_1\) y tenemos \(I_1 = \nu_0 / m\), que ya está en amperios. Para calcular la incertidumbre tenemos que tener en cuenta las incertidumbres \(\Delta m\) y \(\Delta \nu_0\) y la correlación entre ambas \(r\): \begin{equation}\left( \frac{\Delta I_1}{I_1} \right)^2 = \left( \frac{\Delta \nu_0}{\nu_0} \right)^2 + \left( \frac{\Delta m}{m} \right)^2 - 2 \left( \frac{\Delta \nu_0}{\nu_0} \right) \left( \frac{\Delta m}{m} \right) r .\end{equation} Como la correlación \(r\) es positiva, tendremos cancelaciones.